Тензоры. Что может быть проще? - страница 30

Тензор третьего ранга тоже можно изобразить наглядно.

Таким образом, более высшие тензоры описывают связи, где результат зависит от нескольких направлений (например, пьезоэлектричество требует учёта механического напряжения в плоскости и генерации поля в третьем направлении). Они позволяют ещё точнее описать анизотропию в кристаллах и композитах, у которых свойства зависят от направления, что требует тензоров с большим числом компонент. Тензоры высоких рангов возникают в нелинейных теориях (например, в общей теории относительности). Тензоры ранга три и выше – это инструменты для описания сложных физических, механических и геометрических явлений, где простые векторы или матрицы недостаточны. Они позволяют компактно записывать законы природы, сохраняя информацию о многомерных взаимодействиях и анизотропии.

Подытожим. Опираясь на то, что мы знаем о тензоре напряжений, мы смогли обобщить этот формализм, начав работать с тензорами как с совокупностями векторов. А тензоры высшего ранга стали рассматривать как совокупность тензоров предыдущего ранга. В итоге мы получили шикарный способ описывать физические законы наглядно и просто!

Вектор – это упорядоченные числа. Тензор второго ранга – это упорядоченные наборы векторов. Тензоры старше – это упорядоченные наборы тензоров младше. Всюду наборы наборов. Что может быть проще?

Когда-то мы игрались со счётными палочками и вникали с помощью них в суть сложения и умножения. Было всё просто и понятно. Если из общей кучи вытащить по две палочки три раза, мы получим шесть палочек. Можно вытащить три палочки два раза, и результат будет тот же. Умножение после этого казалось таким простым и понятным. Но потом мы узнали, что под ним подразумевается нечто большее – композиция, или иной способ сопоставления двух величин, порождающий третью. Куда-то канула даже коммутативность умножения. А в некоторых особо запущенных случаях (седенеоны) и ассоциативность. Чем нас может порадовать сочетание изучаемых нами объектов – тензорное произведение? Можем ли такая же наглядность, как у счётных палочек, быть совместима с тензорным умножением?

В этом разделе мы рассмотрим тензоры больше с алгебраической точки зрения. Мы увидим, как их можно порождать за счёт специальной операции – тензорного произведения, и также узнаем некоторые его разновидности.