Тензоры. Что может быть проще? - страница 31

На самом деле мы с вами уже производили операцию тензорного произведения. Только её так не называли. Делали её чисто геометрически. Например, когда внутрь вектора вместо чисел воткнули векторы, получив тензор второго ранга. Когда объявили, что тензор следующего ранга – это структура, индивидуальными объектами которой являются тензоры младшего ранга. Всё это было оно – тензорное произведение. Нам остаётся лишь формализовать данную процедуру в алгебраических обозначениях и разобраться с её свойствами.

Суть, примеры и свойства тензорного произведения.

Обозначают тензорное произведение в виде косого креста, вписанного в круг. Оно порождает новые, более сложные объекты не только в тензорном исчислении. Оно перекочевало и в гомологическую алгебру – в столь специфический раздел математики, в котором даже знак равенства является редким гостем.

Тензорное произведение явно некоммутативно. Это становится ясно уже на примере диад, которые уже фактически своим появлением предвещали подобную операцию. Но оно не настолько сложное, чтобы терять ассоциативность и дистрибутивность. Нарушения этих свойств встречаются в очень запущенных случаях у очень суровых математических объектов. Многие свойства тензорного произведения напоминают свойства матричного. Но это оптическая иллюзия. Перемножая тензор второго ранга тензорно на вектор, мы не получим матрицу. Мы получим тензор третьего ранга, который корректнее изображать в виде трёхмерного массива чисел. Но к этому привыкаешь очень быстро.

Совсем легко вычислять и рассматривать тензорное произведение через компоненты. Нам не важно, сколько у них индексов, и сверху они или снизу. Такие произведения дадут компоненты нового объекта, который будет иметь индексы как первого, так и второго множителя. Можно тензорные произведения раскладывать по базисным векторам и ковекторам, которые тоже, перемножаясь, дают новый объект – базис в пространстве тензоров более высокого ранга.

Часто тензорное произведение определяют как факторизацию. Фактор что? Не слышали о таком? Факторизация – это специальная операция, которая проводится над множествами, пространствами разной природы и различными алгебраическими системами.

Итак, факторизация. Нет, это не новый фитнес-тренд и не рецепт смузи. Это математический способ сказать: «Давайте возьмём всё, что у нас есть, и аккуратно выбросим лишнее». В случае тензоров «всё, что у нас есть», – это свободное векторное пространство, порождённое парами векторов