В более общем случае тензоры преобразуются точно таким же образом. На каждый индекс по матрице соответствующего типа.
Особенность закона преобразования тензоров подчёркивает их инвариантность. Сам тензор как геометрический объект не меняется – меняются только его компоненты в разных системах координат. Все индексы преобразуются так, чтобы «компенсировать» друг друга. То, что мы видели геометрически, теперь мы выразили алгебраически.
Теперь нам для полного счастья нужно научиться переключаться между ковариантными и контравариантными компонентами с помощью какого-то отображения, которое это позволит сделать. Вполне логично предположить, что оно связано с базисными векторами и ковекторами. Значит, из них можно составить какой-то тензор и применить для наших нужд – поднятия и опускания индекса.
Базисные векторы заведуют измерением длины вектора и углами между векторами, а следовательно, от этих величин можно попробовать оттолкнуться в наших изысканиях.
Как найти длину вектора на тензорном языке? Геометрически мы это уже делали. В плоском пространстве с ортогональным базисом её можно найти по теореме Пифагора. А что делать, если базис не ортогональный и не единичный? Тогда мы можем выразить компоненты нового базиса через старые и наоборот и путём нехитрых и уже знакомых нам алгебраических преобразований решить вопрос. Если мы внимательно посмотрим на результаты таких действий, то увидим очень знакомую структуру. Преобразования эти напоминают свёртку базисных векторов с некоей матрицей. А матрицы у нас – это как правило что? Разумеется, перед нами тот самый искомый тензор, который организует нахождение длины векторов и углов между ними. Рассмотрев уже его компоненты в старом и новом базисе, мы увидим выполнение установленного закона тензорного преобразования. Такого типа тензоры называют ещё билинейными формами. Ибо они берут два вектора и приготавливают из них число – квадрат длины в данном конкретном случае.
У нас есть успехи: мы научились находить длину вектора через тензоры. Но цель у нас другая. Нам нужно научиться переходить от ковариантных компонент к контравариантным. Мы помним, что эти два типа компонент дуальны друг другу. Но то, что в одном базисе выглядит красиво, в ином может показаться странным. Так как увеличение векторов влечёт уменьшение дуальных к ним ковекторов. Это обстоятельство связано с координатами. Давайте попробуем обойтись без них совсем.