Такой случай некоммутативности весьма прост и называется антикоммутативностью. Бывает, что перестановка множителей у других операций меняет результат до неузнаваемости.
Если честно, то результат векторного произведения – это не совсем и вектор. Его называют аксиальным вектором, или псевдо-вектором. В зазеркалье он ведёт себя как злодей из фильма: выглядит так же, но злорадно меняет знак. И да, это не глюк – так мир устроен!
Не всё то вектор, что им кажется
Вспомнив самые основные свойства векторов, мы теперь можем перейти к более причудливым объектам, которые векторами долго прикидывались. Люди чуть ли не с античных времён пользовались стрелочками в практических задачах. И лишь в 1853 году Джеймс Сильвестр (James Sylvester) заподозрил неладное и ввёл в обиход понятия о ковариантных и контравариантных объектах.
Понятия эти возникают при рассмотрении того, как объекты ведут себя при смене системы отсчёта, а значит, и координат. Величины, которые от смены базиса не зависят, называются скалярными. К таковым, например, относится энергия, температура. Скалярное поле – это число, прикреплённое к каждой точке пространства, словно ценник в супермаркете. Например: температура в комнате: +25° C на диване, +30° C у плиты и -273° C в душе у того, кто включил ледяную воду. Потенциальная энергия: максимум – на диване, минимум – в спортзале. Скалярному полю всё равно, как вы описываете точку. Ваш балкон может быть: с географическими координатами: 55° 75′ с.ш., 37° 61′ в.д.; улицей и домом: «Третий этаж, дом у реки»; в полярных координатах: «500 шагов от памятника, повернуть налево у электрического столба». Но температура там всё равно будет +30° C.
Но помимо скаляров существуют объекты, которые помимо величины обладают ещё и направлением. Это вроде как векторы. Но вот загвоздка в том, что при смене координат их компоненты меняются совершенно по-разному. Причём одним из только двух способов!
Чтобы наглядно увидеть, о чём идёт речь, давайте рассмотрим хрестоматийный пример такого противоположного поведения двух величин, имеющих одно и то же направление.
Давайте рассмотрим простой пример: одномерное пространство. Возьмём числовую прямую, зададим на ней начало отсчёта и единицу длины: 1 метр. Теперь представьте, что у нас есть скалярное поле температуры, которая растёт равномерно. В ноле температура равна нолю, а на каждый метр она поднимается на сто градусов! Таким образом, у нас появляется векторное поле темпа роста температуры, называют его «градиент». В каждой точке он постоянен и равен 100 градусов на метр.