Метрический тензор берёт два вектора и возвращает их скалярное произведение или квадрат длины.
У нас есть для этого всё необходимое. Итак, у нас есть вектор. Чтобы получить его ковектор-партнёр, мы умножаем наш вектор на что-то, где это что-то – просто место для другого вектора. Вы спросите, действительно ли такая конструкция окажется ковектором? Да, это так! Прежде всего, это действительно функция из нашего дуального пространства, потому что она принимает вектор и выдаёт скаляр. Мы можем использовать скалярное произведение, чтобы показать, что эта функция линейна. Кроме того, это новое соответствие, которое мы придумали, вообще не зависит от базиса! Всё и без базиса выглядит достаточно круто. Когда мы умножаем наш основной вектор на 2, мы также на 2 умножаем и его ковектор-партнёр. Таким образом, векторы и ковекторы-партнёры, сопоставленные таким образом, всегда будут увеличиваться и уменьшаться на одну и ту же величину.
Опускание индекса – переход к дуальному объекту.
Если наш вектор, умноженный на что-то, действительно находится уже в дуальном пространстве, это значит, что мы можем построить его из базисных ковекторов. Верно? Какие же это будут коэффициенты в ковекторном базисе? Чтобы это выяснить, давайте вспомним, что результат скалярного произведения векторов получается при подстановке этих векторов в метрический тензор. Чтобы вычислить результат, мы просто раскрываем метрический тензор и оба вектора как линейные комбинации. Теперь остаётся только подставить наши векторы в ковекторы в любом порядке. Метрический тензор по своей природе симметричен. Но мы знаем, что у тензоров можно блокировать или оставлять свободным один из входов, один из индексов. Это свойство новой тензорной интерпретации нам как раз сейчас и пригодится!
Метрический тензор берёт два вектора. Для этого у него есть два индекса, две «двери». Но если мы заполним вектором лишь один вход, то в результате всё тех же преобразований увидим на выходе один голодающий базисный ковектор с некоторым численным коэффициентом. Таким образом, мы получили, как и хотели, ковектор, который сопряжён через метрический тензор с нашим исходным вектором. Такой ковектор обозначим той же буквой, что и вектор, только с опущенным вниз индексом. Просто супер! Мы научились у векторов опускать индексы чисто алгебраически, и это полностью согласуется с теми проекциями, которые мы чертили ранее, когда искали ковариантные компоненты вектора чисто геометрически.