Преобразуем тензорные компоненты как хотим!
Теперь вы можете спросить: «А что насчёт обратного преобразования? Как, наоборот, поднять индекс у ковектора, превратив его в контравариантный объект?» Разумеется, это делается через тензор, противоположный метрическому. Он стандартно определяется как тензор, свёртка которого с метрическим даёт единичный тензор, компоненты которого проще записать через так называемые символы Кронекера.
С помощью этих объектов мы можем поднимать и опускать индексы вообще любых тензоров. Вы ведь помните, что в силу линейности и того, что любой тензор может быть представлен в виде тензорного произведения векторов и ковекторов, всё присущее им будет работать и со старшими рангами.
Существует и альтернативная запись для векторных и ковекторных партнёров. Речь идёт о так называемой «музыкальной нотации». В рамках этих обозначений используют символы из музыкальной грамоты, а именно бемоль и диез. Знак бемоль перед вектором говорит о том, что мы рассматриваем его ковариантные компоненты с нижним индексом. Оператор бемоль в основном понижает индексы, и это имеет смысл. Потому что символ бемоль в музыке понижает высоту ноты на половину шага. Например, от Си до Си-бемоль. Из-за плоского звучания звук получается более низким. Кроме того, если вдуматься, оператор бемоль преобразует векторную стрелку, которая выглядит как заострённая, в ковекторный стек, который получается красивым и плоским. Так что вы можете представить это как сглаживание заострённой стрелки в плоский стек.
С другой стороны, если у нас есть ковектор, определённый стандартным образом, то в качестве вектора можно использовать его в купе с обратным метрическим тензором, создавая дуальный объект. В этом случае в музыкальной нотации мы можем перейти от ковектора к дуальному ему вектору, используя оператор диез. Действие диеза на ковектор поднимает индекс. И это тоже имеет смысл, потому что в музыке символ диез повышает высоту ноты на полшага. Например, от Фа до Фа-диез. Кроме того, оператор диез превращает плоский ковектор в вектор с заострённой стрелкой. Символы бемоль и диез могут показаться немного глуповатыми, но по смыслу они всё же хорошо подходят для этих операций, добавляя в математику ещё больше эстетики.
Подытожим. Мы с вами рассмотрели чисто геометрические объекты – тензоры любых рангов – с непривычной ранее стороны. Но это лишь открыло ещё больше перспектив для их применения и интерпретации. Мы научились менять ковариантные компоненты на контравариантные и наоборот, опуская и поднимая соответствующие индексы. С этих пор имеет смысл мыслить тензор не как разные компоненты, а как единый геометрический объект, вещь в себе, единую суть. Через какие компоненты его представить – дело десятое. Важны не они, а ТЕНЗОР как некий факт, закон.