Если кратко – то производная это мгновенная скорость изменения чего-либо. Именно её показывает спидометр автомобиля. Если величина меняется непрерывно, то для её исследования приходится довольствоваться именно мгновенным описанием. Ибо в следующее мгновение всё меняется, порой кардинально. К мгновенному описанию можно прийти через пределы, как это делают сегодня, или через отношения бесконечно малых величин, как это делали основатели данного исчисления. Бесконечно малое число – это следующее число после ноля. Вы его никогда не запишите численно, но оно ведь есть!
Сам Готфрид Лейбниц рассматривал кривые линии как ломаные, состоящие из бесконечно малых прямых отрезков. Так было их проще описывать. Эти бесконечно малые величины Лейбниц называл дифференциалами и обозначал как dx и dy, подразумевая под ними бесконечно малые приращения соответствующих переменных. Само понятие функции на тот момент было развито слабо. Речь шла об установлении зависимостей между разными величинами при их почти мгновенных приращениях, которые в конце можно было и отбросить. Идея великолепная и естественная! Но возникала проблема. Можно ли считать дифференциалы переменными? Современники Ньютона и Лейбница ухищрялись решать задачи, выбирая конкретные дифференциалы переменными, а другие меняли. Это превратилось в целое искусство. Кстати, Исаак Ньютон использовал другие обозначения. У него производная называлась флюксией (обозначалась точкой сверху), а аналог дифференциала моментом. Функция была потоком величины – флюентой. Знак интеграла у Ньютона – это просто квадрат, который он пишет перед выражением или просто обводит им интегрируемую величину.
Обозначения Лейбница прижились больше в силу большего удобства. Однако в современной математике потеряли первоначальный смысл. Знак интеграла в виде стилизованной буквы S Лейбниц ввёл позже. Изначально он писал I, а ещё раньше omn от латинского «omnis», что означает «весь» или «всё». Знак дифференциала d происходит от слова от латинского «differentia» – «разность» или «различие» Он мыслил знаки интеграла и дифференциала как операторы, которые взаимно уничтожают друг друга. В связи с чем, его доказательство основной теоремы анализа (формулы Ньютона-Лейбница) выглядит невероятно простым, до наивности.