Тензоры. Что может быть проще? - страница 47

Что изменилось впоследствии? После работ Огюстена Коши, Карла Вейерштрасса и других учёных исчисление преобразилось до неузнаваемости и перестало быть противоречивым.

Вся суть матанализа в нескольких графиках!

Под интегралом сегодня понимается предел суммы. Под производной – угловой коэффициент касательной. Дифференциал же вообще перестал быть бесконечно малой величиной. Теперь это приращение ординаты y касательной при приращении аргумента x, и эта величина может быть любого размера. Если удобно, её всё ещё можно мыслить и как бесконечно малую. Работать уравнения будут всё равно одинаково.

А раз работать будет, то нам всё-таки проще мыслить все эти величины как их основатели. Это привнесёт большую наглядность в наши исследования.

Бросив взгляд на историю становления матанализа, давайте пробежимся по основным его столпам. Чтобы получить производную функции, мы рассматриваем отношение разницы значения функции и значения аргумента в окрестности какой-то точки. Это отношение равно тангенсу наклона секущей, проведённой через данные точки. Если мы уменьшаем приращение аргумента до ноля, то секущая вырождается в касательную. Тангенс касательной – наилучшее приближение для мгновенной скорости! И он-то как раз и будет равен отношению того, что называют дифференциалами – приращение ординаты касательной к её аргументу! Всё сошлось!

Пригодится помнить!

Алгебраически тоже всё просто. Мы прибавляем к аргументу функции бесконечно малую величину, вычитаем из неё неизменённую функцию и делим на бесконечно малую как на число. После алгебраических преобразований получаем удобный ответ, в котором полагаем бесконечно малую равной нолю (устремляем к нолю).

Интегрирование возникает, если мы пытаемся вычислить площадь под кривой функцией. Под прямыми линиями нам хватило бы обычной геометрии. А тут нам приходится разбивать пространство под изогнутой непрерывно фигурой на маленькие участочки, в каждом из этих интервалов рассматривать узкие прямоугольнички и делать их бесконечно малыми. В пределе мы получим интеграл – площадь под кривым графиком.

Как увидеть, что интегрирование и дифференцирование являются взаимно обратными операциями? Для этого достаточно всего лишь рассмотреть площадь под графиком как функцию аргумента. Чем больший аргумент мы берём, тем больше площадь. Что будет являться дифференциалом такой функции? Разумеется, бесконечно малый прямоугольничек, вычисляемый как значение функции, умноженное на бесконечно малое приращение