Задание внутренних координат на многообразии.
Таким образом, если у нас есть какое-то сложное многообразие, то мы для ориентации в нём можем подстилать себе небольшие и понятные евклидовы коврики в окрестности каждой точки и перепрыгивать на следующие коврики. И вроде как всё в порядке, мы можем двигаться так сколь угодно далеко и ориентироваться, переходя с одной карты на другую с помощью специальных отображений – функций перехода.
Можно использовать внешние координаты.
Нагляднее это можно увидеть на самом простом примере – окружности. Одной картой её не покрыть. И вот почему. Представьте, что вы пытаетесь развернуть обруч в прямую линию. Если разрезать его в одной точке – получится отрезок. Но тогда место разреза станет «дыркой», которой нет в исходной окружности. Если не разрезать – обруч останется замкнутым, и вы не сможете сопоставить все его точки с интервалом прямой без наложений или разрывов. Говоря совсем просто, окружность нельзя покрыть одной картой, потому что она «замыкается сама на себя», а прямая – нет.
Есть пространства, которые всё-таки покрываются одной картой – это вся плоскость. Декартовых координат достаточно в одном экземпляре. Есть структуры, которые многообразиями ну никак быть не могут (разве что какими-нибудь орбиобразиями). Простейший пример не многообразия – пересекающиеся прямые. Почему? Всё дело в том, что многообразие по определению – это пространство, которое локально выглядит как евклидово пространство (плоское).
А что происходит в точке пересечения двух прямых? Там есть особенность – точка пересечения – это так называемый «разрыв» в структуре. Вокруг этой точки кажется, что пространство «ломается» – оно не выглядит как евклидово в окрестности этой точки, потому что вместо одной гладкой поверхности у нас тут «разрыв» или «узел». Там локально пространство не похоже ни на плоское, а скорее на нечто вроде «разреза», что ломает условие локальной евклидовости.