Вот и учёным мужам прошлого показалось так же. С тех пор объекты типа скорости называют векторами и обозначают буквами с индексами координат сверху, а объекты, подобные градиенту, называют ковекторами, и индексы компонент пишут у них снизу. В англоязычной литературе есть способ запомнить, где какой индекс ставить. Вектора называют контравариантным объектом, так как они преобразуются противоположным способом базису. В слове contravariance латинская буква «n» похожа на стрелочку, указывающую вверх, что напоминает о положении индекса у такого объекта вверху. И наоборот, ковекторы преобразуются так же, как базис, и в символизирующем это слове сovariance буква «v» напоминает стрелочку вниз, также напоминая математику о местоположении ковариантных индексов.
Что касается причин такого различного поведения векторов и ковекторов при смене базиса, то она вполне очевидна. В одном случае координаты стоят в числителе, в другом – в знаменателе дроби или производной. Соответственно, их изменения должны либо увеличивать сами компоненты, или уменьшать. Только и всего!
Вслед за учёными задумаемся над тем, как можно чисто геометрически изобразить векторы и ковекторы. Какая визуализация будет отражать наиболее полно их суть и делать алгебраические действия над ними более наглядными? И здесь ответ напрашивается сам по себе из рассмотренного нами примера. Вектор скорости действительно удобно изображать как стрелку, в более общем случае – это действительно наш классический вектор, касательный к некоей кривой, заданной координатами, зависящими от некоего параметра.
Если же мы внимательно посмотрим на ковектор, в качестве первого примера которого брали градиент, то наглядная аналогия-интерпретация придёт сама. Её подскажет сама суть, сама природа градиента. Что такое градиент? Это направление наискорейшего возрастания некоей величины. Если мы рассматриваем поле температур на плоскости, то можем провести линии через те точки, в которых температура имеет одно и то же значение. Выберем, например, шаг в 10 градусов. И при возрастании температуры на 10 градусов будем отмечать это линией. Допустим, температура возрастает только слева направо. Тогда линии постоянства температуры будут вертикальными. И чем быстрее температура растёт, тем ближе они будут располагаться друг к другу. Вот мы и получаем наглядное представление ковектора! Это стопка линий (в более общем случае – поверхностей), на которой для ещё большего удобства галочкой показывают направление наибольшего роста величины.