Тензоры. Что может быть проще? - страница 8

В силу того, что с векторами каждый человек знаком со школы, у него уже на уровне инстинктов отработаны все действия над этими объектами. Нам теперь нужно довести до такого же автоматизма и наглядности операции с дуальными к ним объектами – ковекторами. Давайте научимся их складывать как в абстрактном алгебраическом представлении, так и в геометрическом – визуальном.

Геометрическая визуализация ковекторов.

Мы уже поняли, что удобнее представлять ковекторы как поверхности или линии. Существует немного свободы в обозначениях при начертании этих объектов. Иногда стрелочку ставят в середине стопки линий, иногда на переднем крае. Если у нас величина (энергия или температура, например) меняется сложным образом, то ковекторы мы изображаем изогнутыми линиями, кривизна которых может тоже меняться от точки к точке, или множеством линий в разных областях, имеющих разные направления. Практика показывает, что это очень удобно. Как и векторы, ковекторы являются инвариантными величинами, вещью в себе, которые не зависят от системы координат. Но их описание через компоненты будет выглядеть по-разному в разных базисах.

Для построения алгебры ковекторов полезно будет проводить аналогию с операциями над векторами и смотреть, как отличается их геометрическая интерпретация от собственно знакомых нам векторов. Мы умеем складывать два вектора. Конец одного прилагаем к началу другого и проводим линию от свободного конца первого вектора к свободному концу второго. Ковекторы можно тоже складывать. Но если мы помедитируем над тем, как сделать сложение таковым, чтобы оно сохраняло основные свойства ковекторов, то придём к следующему способу. Чертим первый ковектор в виде линий, затем на нём чертим второй. Линии обоих ковекторов образуют параллелограмм. Суммарным ковектором будут являться линии, проходящие через вершину этого параллелограмма и его диагональ.

Сложение ковекторов и умножение ковектора на число.

Мы умеем умножать вектор на число. Вектор при этом увеличивается в длине, если число больше единицы, и уменьшается, если оно меньше. Если число отрицательное, то вектор поменяет своё направление стрелочки на противоположное. С ковекторами выполняется в точности как у векторов лишь последний пункт. Если мы ковектор умножим на отрицательное число, он поменяет своё направление. В остальном ситуация иная. Умножение ковектора на число приводит к тому, что у него кратно этому числу возрастает плотность линий. Если число больше единицы, то ковектор становится более плотным, если число меньше единицы, то линии становятся более редкими пропорционально числу.