И вот в эту борьбу с Евклидовой параллельностью вступил и Николай Иванович Лобачевский. И хотя, как я понимаю, у него были и другие претензии к Евклидовому описанию геометрии, основное недовольство выражалось именно теории параллельности. Вот его слова (здесь и далее «курсивом в кавычках» выделяю формулировки Николая Ивановича Лобачевского из указанной выше книги):
«Кто не согласится, что никакая математическая наука не должна была бы начинаться с таких темных понятий, с каких, повторяя Евклида, начинаем мы Геометрию; и что нигде в математике нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой принуждены были допустить в теории параллельных линий»
Обобщив весь, накопленный до него, опыт доказательств пятого постулата, Лобачевский пришел к выводу, что никто так ничего и не доказал (впрочем, так делали и все предыдущие доказыватели):
«Измерение плоскостей основывается на том, что две линии сходятся, когда они стоят на третьей по одну сторону и когда одна перпендикул, а другая наклонена под острым углом, обращенным к перпендикулу. Линии АВ и CD должны сходиться по достаточном продолжении, если одна из них АВ перпендикулярна к ВС, а другая CD наклонена к ВС под острым углом С, обращенным к перпендикулу АВ. Строгого доказательства сей истины до сих пор не могли сыскать; какие были даны, могут называться только пояснениями, но не заслуживают быть почтены в полном смысле математическими доказательствами».
И конечно же сам Николай Иванович искренне считал, что данную проблему решил:
«Всем известно, что в геометрии теория параллельных до сих пор оставалась несовершенной. Напрасное старание со времен Евклида в продолжение двух тысяч лет заставило меня подозревать, что в самых понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую поверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения. В справедливости моей догадки будучи наконец убежден и почитая затруднительный вопрос решенным вполне, писал об этом я рассуждение в 1826 году»
При погружении в тему стало очевидно, что в геометрии Лобачевского, претензии не касаются общих взаимоотношений между привычными геометрическими объектами, различия ограничиваются именно нестандартным подходом к вопросу параллельности. И уже этот, принятый за истину, нестандарт используется для дальнейших доказательств специфических, отличных от Евклидовой геометрии, закономерностей. В связи с чем, в данной статье основное внимание обращено на утверждения Лобачевского (он их называет «