»), имеющие отношение к вопросу параллельности. Причем полностью рассуждения Николая Ивановича будут приводиться только если это необходимо.
Начинает свои исследования по теории параллельных линий Лобачевский с Предложений необходимых, как он считает, для дальнейших доказательств:
«1) Прямая линия покрывает себя самое во всех положениях. Под этим я разумею, что при вращении поверхности прямая линия не меняет своего места, если она проходит через две неподвижные точки поверхности.»
«2) Две прямые не могут пересекаться в двух точках.»
Вполне очевидно, что эти два предложения справедливы только в случае если прямая линия на всем протяжении не меняет своего направления. Что можно определить и так: угол между любыми смежными отрезками прямой линии равен π (или развернутому углу).
«3) Прямая линия, будучи достаточно продолжена в обе «стороны, должна уходить за всякие пределы и таким образом делит ограниченную плоскость на две части.»
В Предложении №4 Николай Иванович, в явном виде дает тот самый постулат Евклида, совершенно при этом не обсуждая его истинность, а значит считая его действительным.
«4) Две прямые, перпендикулярные к одной и той же третьей прямой, никогда не пересекаются, сколько бы мы их ни продолжали.»
«5) Прямая линия всегда пересекает другую прямую, если переходит с одной ее стороны на другую».
«6) Вертикальные углы, у которых стороны одного составляют продолжения сторон другого, равны. Это справедливо как в применении к плоским прямолинейным углам, так и в применении к плоскостным двугранным углам.»
Очевидно, что Предложение №6 справедливо только в случае если образующие углов являются прямыми линиями или плоскостями и не меняют своих направлений при переходе вершины углов.
«7) Две прямые не могут пересечься, если какая-либо третья прямая пересекает их под равными углами.»
Еще одно прямое упоминание пятого постулата, и снова никаких доказательств Николаю Ивановичу не требуется.
Предложения №№8-15 также ничего необычного не содержат.
«8) В прямолинейном треугольнике равным углам противолежат равные стороны, и обратно.»
«9) В прямолинейном треугольнике большей стороне противолежит также больший угол. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого из катетов, и прилежащие к ней углы острые.»