Воображариум Лобачевского - страница 4
«10) Прямолинейные треугольники конгруэнтны, если у них равны сторона и два угла или две стороны и заключенный между ними угол или две стороны и угол, противолежащий большей стороне, или три стороны.»
«11) Прямая линия, перпендикулярная к двум другим прямым, не лежащим с нею в одной плоскости, перпендикулярна ко всем прямым, проведенным через точку их общего пересечения в плоскости двух последних прямых.»
«12) Пересечение шара плоскостью есть круг.»
«13) Прямая, которая перпендикулярна к линии пересечения двух плоскостей и расположена в одной из этих плоскостей, перпендикулярна к другой плоскости.»
«14) В сферическом треугольнике равным сторонам противолежат равные углы, и обратно.»
«15) Сферические треугольники конгруэнтны, если у них равны две стороны и угол, заключенный между ними, или же сторона и прилежащие к ней углы.»
Новшество Лобачевского.
И наконец вот оно, то самое, начало новой теории параллельности Лобачевского данное в Предложении №16:
«16) Все прямые линии, выходящие в некоторой плоскости из одной точки, могут быть по отношению к некоторой заданной прямой той же плоскости разделены на два класса, именно на пересекающие ее и непересекающие. Граничная линия, одного и другого классов этих линий называется параллельной заданной линии. … Угол между параллелью и перпендикуляром называется углом параллели (углом параллельности); мы будем здесь обозначать его через П(p) при AD=p....
Если П(р) есть прямой угол, то кроме параллели, все другие прямые по достаточном продолжении в обе стороны должны пересекать заданную линию....
Если П(р) меньше прямого угла, то по другую сторону от перпендикуляра, под тем же углом П(р), будет проходить еще одна линия параллель, таким образом, мы должны отличать еще сторону параллельности.»
Видимо, чтобы не уподобляться тем, чьи попытки доказательств истинности пятого постулата критикует, Лобачевский просто сделал утверждение, что на плоскости через точку, находящуюся вне прямой линии, можно провести бесконечное число как пересекающихся (чертеж №3 зеленые линии), так и не пересекающихся (чертеж №3 синие линии) с ней прямых линий. И первые из непересекающихся с каждой стороны от перпендикуляра (чертеж №3 красные линии) он ОПРЕДЕЛЯЕТ как ПАРАЛЛЕЛИ.
Чертеж №3. Представление Лобачевского о параллельности.