Определение нормальной параллельности.
Полностью поддерживаю такой подход – параллельность требует только определения, но совершенно не согласен в реализации.
Считаю, что единственно верное определение параллельности (далее буду называть ее нормальной), следующее: линии считаются параллельными, если расстояние между ними не изменяется. Причем, данное определение не ограничивается только прямыми линиями, оно применимо к любым линиям и поверхностям. И после определения доказывать уже необходимо не его истинность, а соответствие конкретных построений данному определению, что в корне меняет всю ситуацию. И если бы, такое определение было принято сразу, не было бы пустой борьбы с пятым постулатом и «несовершенствомв теории параллельности», собственно, и такая теория в данном случае становиться излишней.
Однако, Николай Иванович (как и другие высокоранговые математики) посчитал, наверное, такой исход слишком простым для себя, не сулящим никакой сенсационности и эксклюзивности, и дал параллелям свое определение, на котором и построил, как он сам ее называл «воображаемую» геометрию.
Кстати, в Предложении №21 Николай Иванович сам доказывает, что его параллельности быть не может:
«21) Из данной точки всегда можно провести прямую линию таким образом, чтобы она образовала с данной прямой сколь угодно малый угол.»
В данном Предложении Лобачевский предполагает и доказывает, что при неограниченном продолжении между наклонными прямыми линиями всегда есть сколь угодно малый угол. Но угол требует наличия вершины – точки пересечения образующих его прямых линий, а значит наклонные друг к другу прямые линии неизбежно пересекаются.
Предложения №№17 и 18 вполне обычные утверждения пусть и применительно к необычной параллельности.
«17) Прямая линия сохраняет признак параллельности во всех своих точках.»
«18) Две линии всегда взаимно параллельны.»
Лобачевский и треугольники.
Для Предложения №19 необходимо привести оригинальное доказательство.
«19) В прямолинейном треугольнике сумма трех углов не может превышать двух прямых.»
«Допустим, что в треугольнике ABC (чертеж №4) сумма трех углов равна π+α; если его стороны не равны, возьмем наименьшую из них