Начиная с этого раздела всё станет немного жёстче. Но мы с вами справимся. На сей раз мы покинем унылые плоские пространства и погрузимся в весьма причудливые миры, которые единой координатной сеткой порой невозможно окинуть. И в них всё равно могут жить тензоры.
Но чтобы справиться с искривлёнными пространствами, нам нужно сперва покорить идею непрерывности, идя по следам Лейбница и Ньютона. Без этого, увы, никак.
В общем, нас ждёт новая философия познания, новые методы и, конечно же, тензоры, которые тоже изменят свой лик.
Когда мы говорим о пространстве, у большинства из нас в голове возникает прямоугольник в клеточку – это плоская поверхность, как лист бумаги. Но, мир намного более увлекательнее, чем этот унылый квадрат!. Настало время распрощаться с плоскими пространствами и окунуться в мир многообразий!
Представьте, что вы – древний мореплаватель, который только что узнал, что Земля круглая. «Как так? – воскликнете вы. – Ведь у горизонта она идеально плоская!» Вот она, главная хитрость мироздания: то, что кажется прямым и простым здесь, может оказаться изогнутым и закольцованным там. Мир – это многообразие, так в математике называют пространства, где локально всё подчиняется школьной геометрии, но глобально может быть искривлённым, замкнутым и даже неориентируемым.
Возьмите футбольный мяч. Для муравья, ползущего по нему, поверхность – почти плоскость. Но стоит ему сделать круг почёта, как он вернётся в исходную точку, хотя шёл всё время «прямо». Так и мы: тысячелетия считали Землю плоской, пока не наткнулись на её кривизну. Колумб, открыв Америку, думал, что достиг Индии – вот вам и первая встреча с многообразием! Но именно так рождалась идея: искривлённое пространство можно изучать через его плоские кусочки, как мореплаватели – через карты, которые никогда не показывают весь мир сразу.
Как проще всего описать мяч, тор или пространство-время? Ответ подсказывает география: нарисуйте карту. Карта – это окно, через которое кривизна мира распрямляется в координаты. Широта и долгота для Земли, углы вдоль цилиндра и экватора бублика – всё это попытки «приручить» многообразие.