Осознание проблемы – шаг к её решению.
Но одной картой в причудливых пространствах, как правило, не обойтись. Одна карта – почти всегда обман и искажение. Попробуйте изобразить весь глобус на бумаге: проекция Меркатора растянет полюса, Петерс искривит экватор, а капитан корабля на стыке карт запутается, как в Бермудском треугольнике. Поэтому нужен атлас – набор карт, которые, словно пазл, покрывают многообразие целиком.
Даже для задания карты температур на Земле
приходится иметь дело с многообразием.
Например, для окружности хватит двух карт, хотя можно взять и больше. Там, где они перекрываются, должна работать формула перехода. Без таких формул атлас рассыплется, а многообразие превратится в хаос разрозненных листов из пространств. Но всё-таки почему нельзя сделать единую карту, например, на сферической поверхности Земли без искажений? Ответ прост: сфера – не плоскость. Вы не сможете «разрезать» её на части, которые ровно лягут на стол, как кожура апельсина. Попробуйте очистить апельсин одним куском и распрямить кожуру: она порвётся или соберётся в складки. Точно так же любая попытка «расплющить» глобус в одну карту неминуемо приводит к проблемам. Например, к разрывам – как на карте мира, где Тихий океан разорван на две части. Искажениям – как у Меркатора, где Антарктида превращается в гигантскую белую кайму. Пропаже точек – например, стереографическая проекция «теряет» северный полюс, отправляя его в бесконечность.
«Хотите нанести весь мир на один лист? Придётся пожертвовать либо Аляской, либо здравым смыслом», – вздыхают картографы. Аналогично дело обстоит и с пространством-временем нашей вселенной, на которое даже снаружи неоткуда взглянуть.
Если что, всё вышеописанное – многообразия, карты, атласы – это математические термины! Да, именно так, без изменений эти слова перекочевали в дифференциальную геометрию из географии.
Говоря более строго, многообразием называется пространство, которое локально можно отобразить в евклидово пространство. То есть в микро-масштабе оно кажется плоским. Покрытие локальной картой также является отображением из евклидова пространства на задающее многообразие. Атлас – это просто набор карт. Можно составить несколько атласов, содержащих карты, по-разному покрывающие одно и то же многообразие.